多维数据集的区别：公式，方程式，示例，练习 - 数学 - 2025

该立方体的差是形式的的二项式代数表达式³ - B ³，其中术语a和b可以是实数或不同类型的代数表达式。多维数据集差异的一个示例是：8-x ³，因为8可以写成2 ³。

从几何上讲，我们可以想到一个大的立方体，其边为a，减去了边为b的小立方体，如图1所示：

图1.不同的多维数据集。资料来源：F. Zapata。

结果图的体积恰好是立方体的差：

V = a ³ -b ³

为了找到替代表达式，可以观察到该图可以分解为三个棱柱，如下所示：

图2.立方体的差（等式的左边）等于部分体积的总和（右边）。资料来源：F. Zapata。

棱镜的体积由其三个维度的乘积给出：宽度x高度x深度。这样，最终的体积为：

V = a ³ -b ³ = a ².b + b ³ + ab ²

因子b在右边是公共的。此外，在上面显示的图中，尤其如此：

b =（a / 2）⇒a = b + b

因此可以说：b = a-b。从而：

即使在角落中丢失的多维数据集的边不同于b = a / 2，这种表达多维数据集差异的方法也将在许多应用中非常有用，并且将以相同的方式获得。

请注意，第二个括号与总和的平方的显着乘积非常相似，但是交叉项未乘以2。读者可以扩展右侧以确认确实获得了³ -b ³。

例子

多维数据集有几个区别：

1至⁶

一个⁶ b ³ - 8Z ¹²和⁶

（1/125）·X ⁶ - 27.y ⁹

让我们分析其中的每一个。在第一个示例中，1可以写为1 = 1 ³，项m ⁶变为：（m ²）³。这两个术语都是完美的立方体，因此它们的区别是：

1-m ⁶ = 1 ^3-（m ²）³

在第二个示例中，术语被重写：

a ⁶ b ³ =（a ² b）³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³（z ⁴）³（y ²）³ =（2z ⁴ y ²）³

这些立方体的区别是：（a ² b）^3-（2z ⁴ y ²）³。

最后，组分（1/125）为（1/5 ³）中，X ⁶ =（X ²）³，27 = 3 ^3，和y ⁹ =（Y ³）³。将所有这些替换为原始表达式，您将获得：

（1/125）·X ⁶ - 27Y ⁹ = ³ - （3Y ³）³

分解多维数据集的差异

分解多维数据集的差异可简化许多代数运算。为此，只需使用上面推导的公式：

图3.多维数据集差异的因式分解和显着商的表示。资料来源：F. Zapata。

现在，应用此公式的过程包括三个步骤：

-首先，获得每个差项的立方根。

-然后，构造出现在公式右侧的二项式和三项式。

-最后，将二项式和三项式替换为最终的因式分解。

让我们在上面提出的每个立方差示例中说明这些步骤的用法，从而获得其因数等效的结果。

例子1

按照上述步骤分解表达式1-m ⁶。首先，将表达式重写为1-m ⁶ = 1 ^3-（m ²）^3，以提取每个项的相应立方根：

接下来，构造二项式和三项式：

a = 1

b = m ²

所以：

a-b = 1-m ²

（a ² + ab + b ²）= 1 ² + 1.m ² +（m ²）² = 1 + m ² + m ⁴

最后，将其替换为公式a ³ -b ³ =（ab）（a ² + ab + b ²）：

1-m ⁶ =（1-m ²）（1 + m ² + m ⁴）

例子2

分解：

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ =（a ² b）^3-（2z ⁴ y ²）³

由于这些是完美的多维数据集，因此多维数据集的根是立即数：a ² b和2z ⁴和²，因此得出：

-二项式：a ² b-2z ⁴和²

-三项式：（a ² b）² + a ² b。2z ⁴ y ² +（a ² b + 2z ⁴ y ²）²

现在，构建了所需的分解：

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ =（a ² b-2z ⁴ y ²）。=

=（a ² b-2z ⁴ y ²）。

原则上，分解已经准备就绪，但是通常有必要简化每个术语。然后，开发出最后出现的非凡乘积-总和的平方，然后添加相似的项。记住总和的平方是：

右边的著名产品是这样开发的：

（a ² b + 2z ⁴和²）² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴和² + 4z ⁸和⁴

替换在立方差分的因式分解中获得的展开式：

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ =（a ² b-2z ⁴ y ²）。=

最后，将类似的项分组并分解数值系数，它们都是偶数，我们得到：

（a ² b-2z ⁴ y ²）。= 2（a ² b-2z ⁴ y ²）。

例子3

理（1/125）× ⁶ - 27Y ⁹是比以前的情况下要容易得多。首先确定a和b的等价物：

a =（1/5）x ²

b = 3y ³

然后将它们直接替换为公式：

（1/125）·X ⁶ - 27Y ⁹ =。

锻炼解决

就像我们已经说过的那样，立方体的不同在代数中有多种应用。让我们看看一些：

练习1

求解以下方程式：

一）× ⁵ - 125× ² = 0

b）64-729 x ³ = 0

解决方案

首先，以这种方式分解方程式：

X ²（X ³ - 125）= 0

由于125是理想的多维数据集，因此括号被写为不同的多维数据集：

X ²。（X ³ - 5 ³）= 0

第一个解决方案是X = 0，但我们发现更多，如果我们做X ³ - 5 ³ = 0，则：

x ³ = 5 ³ →x = 5

解决方案b

等式的左侧重写为64-729 x ³ = 4 ^3-（9x）³。从而：

4 ^3-（9x）³ = 0

由于指数是相同的：

9x = 4→x = 9/4

练习2

分解表达式：

（x + y）^3-（x-y）³

解

如果在分解公式中我们注意到，则此表达式是多维数据集的区别：

a = x + y

b = x- y

然后首先构造二项式：

a-b = x + y-（x- y）= 2y

现在是三项式：

a ² + ab + b ² =（x + y）² +（x + y）（xy）+（xy）²

开发了著名的产品：

接下来，您必须替换和减少类似的术语：

一个² + AB + B ² = X ² + 2XY + Y ² + X ² - ý ² + X ² - 2XY + Y ² = 3× ² + Y ²

分解导致：

（x + y）^3-（x-y）³ = 2y。（3x ² + y ²）

参考文献

1. Baldor，A.1974。代数。编辑文化委内瑞拉SA
2. CK-12基金会。多维数据集的总和与差。从ck12.org中恢复。
3. 可汗学院。分解多维数据集的差异。摘自：es.khanacademy.org。
4. 数学是有趣的高级游戏。两个立方体的区别。从以下位置恢复：mathsisfun.com
5. 联阿特派团。分解不同的多维数据集。从以下站点恢复：dcb.fi-c.unam.mx。