它被称为不等边三角形属性，它满足两个由其和的绝对值组成的实数始终小于或等于其绝对值的和。此属性也称为Minkowski不等式或三角形不等式。
数字的这种特性称为三角形不等式，因为在三角形中碰巧一侧的长度总是小于或等于另一侧的总和，即使这种不等式并不总是适用于三角形区域。
图1.两个数之和的绝对值始终小于或等于它们的绝对值之和。（由R.Pérez编写）
关于实数三角形不等式，有几种证明，但是在这种情况下，我们将根据绝对值和二项式平方的性质来选择一个。
定理：对于属于实数的每对数字a和b，我们有：
-a + b-≤-a-+-b-
示范
我们首先考虑不等式的第一个成员，它将平方：
-a + b-^ 2 =（a + b）^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2（等式1）
在上一步中，我们使用的属性是任何平方的平方等于该平方的绝对值，即：-x- ^ 2 = x ^ 2。也已使用平方二项式展开。
每个数字x均小于或等于其绝对值。如果数字为正，则等于；但是，如果数字为负，则始终小于正数。在这种情况下，其自身的绝对值即x≤-x-。
乘积（ab）是一个数字，因此适用（ab）≤-ab-。当将此属性应用于（等式1）时，我们有：
-a + b-^ 2 = a ^ 2 + 2（ab）+ b ^ 2≤a ^ 2 + 2-ab-+ b ^ 2（等式2）
考虑到-ab-=-a-b-la（等式2）可以写成如下：
-a + b-^ 2≤a ^ 2 + 2-a-b-+ b ^ 2（等式3）
但是由于我们之前说过一个数字的平方等于该数字平方的绝对值，所以等式3可以重写为：
-a + b-^ 2≤-a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2（等式4）
在不等式的第二个成员中，发现了一个非凡的乘积，当应用该乘积会导致：
-a + b-^ 2≤（-a- + -b-）^ 2（式5）
在前面的表达式中应注意，不等式两个成员中要平方的值都是正的，因此还必须满足以下条件：
-a + b-≤（-a- + -b-）（式6）
上一个表达式正是您要演示的。
例子
接下来，我们将通过几个示例检查三角不等式。
例子1
我们取值a = 2和值b = 5，即均为正数，并检查是否满足不等式。
-2 + 5-≤-2- + -5-
-7-≤-2- + -5-
7≤2+ 5
证明了相等性，因此满足了三角不等式定理。
例子2
选择以下值a = 2和b = -5，即一个正数和另一个负数，我们检查是否满足不等式。
-2-5-≤-2- + --5-
--3-≤-2- + --5-
3≤2 + 5
不等式得到满足，因此三角不等式定理得到了验证。
例子3
我们取值a = -2和值b = 5，即一个负数和另一个正数，我们检查是否满足不等式。
--2 + 5-≤--2- + -5-
-3-≤--2- + -5-
3≤2 + 5
证明了不等式，因此定理已被满足。
例子4
选择以下值a = -2和b = -5，即均为负数，我们检查是否满足不等式。
--2-5-≤--2- + --5-
--7-≤--2- + --5-
7≤2+ 5
证明了相等性，因此满足了Minkowski不等式定理。
例子5
我们取值a = 0和值b = 5，即数字零和另一个正数，然后检查是否满足不等式。
-0 + 5-≤-0- + -5-
-5-≤-0- + -5-
5≤0+ 5
满足等式，因此三角不等式定理得到了验证。
例子6
我们取a = 0的值和b = -7的值，即数字0和另一个正数，然后检查是否满足不等式。
-0-7-≤-0- + --7-
--7-≤-0- + --7-
7≤0+ 7
证明了相等性，因此满足了三角不等式定理。
解决的练习
在以下练习中，以几何形式表示数字a和b的三角形不等式或Minkowski不等式。
数字a将表示为X轴上的一个线段，其原点O与X轴的零点重合，并且如果a为a，该线段的另一端（在点P）将位于X轴的正方向（右侧）。 > 0，但是如果<0，它将朝向X轴的负方向，与它的绝对值指示的单位一样多。
类似地，数字b将被表示为一个原点在点P上的线段。另一个极端，即如果b为正（b> 0）且点Q将为-b，则点Q将位于P的右侧。 -如果b <0，则在P左边的单位。
练习1
画出a = 5和b = 3-a + b-≤-a-+-b-的三角形不等式，其中c = a + b。
练习2
画出a = 5和b = -3的三角形不等式。
-a + b-≤-a-+-b-，其中c = a + b。
练习3
图形显示a = -5和b = 3时三角形的不等式。
-a + b-≤-a-+-b-，其中c = a + b。
练习4
以图形方式构造a = -5和b = -3的三角形不等式。
-a + b-≤-a-+-b-，其中c = a + b。
参考文献
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