正整数的加法分解包括将其表示为两个或多个正整数之和。因此，我们必须将数字5表示为5 = 1 + 4、5 = 2 + 3或5 = 1 + 2 + 2。这些数字5的书写方式中的每一种都称为加法分解。

如果我们注意，我们可以看到表达式5 = 2 + 3和5 = 3 + 2表示相同的组成；他们都有相同的数字。但是，为方便起见，通常按照从最低到最高的标准来编写每个加数。

加性分解

再举一个例子，我们可以将数字27表示为：

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

加法分解是一个非常有用的工具，可让我们加强对编号系统的了解。

规范添加剂分解

当我们拥有多于两位数的数字时，分解它们的一种特殊方法是用10、100、1000、10000等的倍数组成。这种写任何数字的方式称为规范加性分解。例如，数字1456可以分解如下：

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

如果我们有20 846 295，则其标准加法分解为：

20846295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5。

由于这种分解，我们可以看到给定数字的值由它所占据的位置给出。让我们以数字24和42为例：

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

在这里我们可以看到，在24中，2的值为20个单位，而4中的值为4个单位；另一方面，在42中，4具有40个单位的值，而2具有两个单位的值。因此，尽管两个数字都使用相同的数字，但由于它们所处的位置，它们的值完全不同。

应用领域

我们可以提供给加法分解的一种应用是在某些类型的证明中，其中将正整数看作是其他整数的和非常有用。

实例定理

让我们以下面的定理为例进行说明。

-假设Z为4位整数，则Z与单位的对应数字为零或5时，Z可除以5。

示范

让我们记住什么是可除性。如果我们有“ a”和“ b”整数，则说存在一个整数“ c”时，“ a”将“ b”除以使得b = a * c。

可除性的一个特性告诉我们，如果“ a”和“ b”可被“ c”整除，则减法“ ab”也可整除。

令Z为4位整数；因此，我们可以将Z写为Z = ABCD。

使用规范的加性分解，我们有：

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

显然，A * 1000 + B * 100 + C * 10可被5整除。因此，如果Z-（A * 1000 + B * 100 + C * 10）可被5整除，则Z可被5整除。

但是Z-（A * 1000 + B * 100 + C * 10）= D并且D是一个数字，因此要被5整除的唯一方法是将其设为0或5。

因此，如果D = 0或D = 5，则Z可被5整除。

请注意，如果Z具有n个数字，证明是完全相同的，则只是改变，现在我们将写Z = A ₁ A ₂ …A _n，目的是证明A _n为零或五。

分区

我们说正整数的分区是一种可以将数字写为正整数之和的方式。

加性分解和分区之间的区别在于，尽管第一个分解试图至少将其分解为两个或多个加数，但分区没有此限制。

因此，我们有以下内容：

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

以上是5的分区。

也就是说，我们有每个加法分解都是一个分区，但不是每个分区都必然是一个加法分解。

在数论中，算术的基本定理保证每个整数都可以唯一地写为素数的乘积。

研究分区时，目标是确定可以用几种方式将正整数写为其他整数的总和。因此，我们定义了如下所示的分区函数。

定义

分区函数p（n）定义为可将正整数n写入正整数之和的方式数。

回到5的示例，我们有：

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 +1 +1 + 2

5 = 1 +1 +1 +1 +1

因此，p（5）= 7。

图形

n的分区和加法分解都可以用几何表示。假设我们有一个n的加法分解。在这种分解中，可以安排加数，以使总和的成员从最小到最大排序。所以，好吧：

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +…+ a _r与

一个₁ ≤一个₂ ≤一个₃ ≤…≤一个_ř。

我们可以按以下方式绘制分解图：在第一行中标记₁点，然后在下一行中标记₂点，依此类推，直到达到_r。

以数字23及其以下分解为例：

23 = 5 + 4 + 7 + 3 +1 +3

我们命令分解，我们有：

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

其对应的图形为：