的连续的衍生物是那些二阶导数之后，从一个功能的。计算连续导数的过程如下：我们有一个函数f，我们可以导出它，从而获得导数函数f'。我们可以再次推导f的导数，获得（f'）'。
这个新函数称为二阶导数。从第二次计算得出的所有导数都是连续的；这些也被称为高阶，具有很大的应用，例如提供有关函数图的图的信息，相对极值的二阶导数的检验以及无穷级数的确定。
定义
使用Leibniz的表示法，我们具有相对于“ x”的函数“ y”的导数为dy / dx。为了使用莱布尼兹的表示法表示“ y”的二阶导数，我们编写如下：
通常，我们可以用莱布尼兹（Leibniz）的符号表示连续的导数，其中n表示导数的阶数。
使用的其他符号如下：
我们可以看到不同符号的一些示例是：
例子1
获得由以下函数定义的函数f的所有导数：
使用通常的推导技术，我们可以得出f的导数为：
通过重复该过程，我们可以获得二阶导数，三阶导数，依此类推。
请注意，四阶导数为零，零的导数为零，因此我们有：
例子2
计算以下函数的四阶导数：
结果是得出给定的函数：
速度和加速度
导致导数发现的动机之一是寻找瞬时速度的定义。正式定义如下：
令y = f（t）是一个函数，其图描述了时间t处粒子的轨迹，则其在时间t处的速度由下式给出：
一旦获得粒子的速度，我们就可以计算瞬时加速度，其定义如下：
由y = f（t）给出路径的粒子的瞬时加速度为：
例子1
粒子根据位置函数沿直线移动：
其中“ y”以米为单位，“ t”以秒为单位。
-在什么时候速度为0？
-在什么时候加速度为0？
推导位置函数«和»时，我们分别给出其速度和加速度：
为了回答第一个问题，确定函数v何时变为零就足够了。这是：
我们以类似的方式处理以下问题：
例子2
粒子根据以下运动方程式沿直线移动：
当a = 0时确定“ t，y”和“ v”。
知道速度和加速度是由
我们继续推导并获得：
使a = 0，我们有：
从这里我们可以推断出a等于零的t的值是t = 1。
然后，在t = 1时评估位置函数和速度函数，我们得到：
应用领域
显式推导
连续导数也可以通过隐式推导获得。
例
给定以下椭圆，找到“ y”：
关于x隐式推导，我们有：
然后相对于x隐式地重新推导得出：
最后，我们有：
相对极端
我们可以赋予二阶导数的另一个用途是计算函数的相对极值。
局部极值的一阶导数的标准告诉我们，如果我们在区间（a，b）上具有连续函数f，并且有一个c属于所述区间，则f在c中消失（即，c是一个临界点），可能会发生以下三种情况之一：
-如果对于属于（a，c）的任何x f´（x）> 0，对于属于（c，b）的x f´（x）<0，则f（c）是局部最大值。
-如果对于属于（a，c）的任何x f´（x）<0，对于属于（c，b）的x f´（x）> 0，则f（c）是局部最小值。
-如果f´（x）在（a，c）和（c，b）中具有相同的符号，则表示f（c）不是局部极值。
使用二阶导数的标准，我们可以知道函数的临界数是局部最大值还是最小值，而不必查看函数在上述间隔中的符号是什么。
第二个漂移准则告诉我们，如果f´（c）= 0且f´´（x）在（a，b）中是连续的，则会发生如果f´´（c）> 0则f（c）是局部最小值，并且如果f´（c）<0，则f（c）是局部最大值。
如果f´（c）= 0，我们将无法得出任何结论。
例
鉴于函数f（x）= X 4 +（4/3）× 3 - 4× 2，找到的F，使用二阶导数的标准的相对最大值和最小值。
首先，我们计算f´（x）和f´´（x），我们有：
F'（x）= 4× 3 + 4× 2 - 8倍速
f´（x）= 12x 2 + 8x-8
现在，当且仅当4x（x + 2）（x-1）= 0时，f´（x）= 0，并且当x = 0，x = 1或x =-2时会发生这种情况。
要确定所获得的临界数是否是相对极值，就足以在f´´处求值并观察其符号。
f´（0）=-8，所以f（0）是一个局部最大值。
f´´（1）= 12，因此f（1）是局部最小值。
f´（-2）= 24，所以f（-2）是局部最小值。
泰勒级数
令f为定义如下的函数：
此函数的收敛半径R> 0，并且具有（-R，R）中所有阶的导数。f的连续导数给我们：
取x = 0，我们可以得到c n的值作为其导数的函数，如下所示：
如果我们将一个= 0作为函数f（即f ^ 0 = f），则可以如下重写该函数：
现在，让我们将函数视为x = a的一系列幂：
如果我们进行与上一个类似的分析，则可以将函数f编写为：
这些级数从f到a被称为泰勒级数。当a = 0时，我们有称为Maclaurin系列的特殊情况。这种类型的级数在数学上尤其是在数值分析中具有重要的数学意义，因为有了这些，我们可以在计算机中定义函数，例如e x，sin（x）和cos（x）。
例
获取麦克劳林系列è X。
请注意，如果f（x）= e x，则f （n）（x）= e x且f （n）（0）= 1，因此其Maclaurin级数为：
参考文献
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- Leithold，L。（1992）。具有解析几何的计算。南哈拉
- Purcell，EJ，Varberg，D。，&Rigdon，SE（2007）。计算。墨西哥：培生教育。
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