几个变量的函数的偏导数是确定一个变量无穷大而其他变量保持不变时确定函数变化率的函数。
为了使这个想法更具体，假设有两个变量的函数：z = f（x，y）。将函数f对变量x的偏导数计算为对x的普通导数，但将变量y视为常数。
图1. 在点P处的函数f（x，y）及其偏导数x x f y y f（由R.Pérez和geogebra阐述）
偏导数符号
函数f（x，y）对变量x的偏导数操作可用以下任何一种方式表示：
在偏导数中，使用符号∂（一种四舍五入的字母d，也称为雅可比的d），这与单变量函数的普通导数相反，在该函数中，字母d用于导数。
一般而言，多元函数相对于其变量之一的偏导数会导致新函数具有与原始函数相同的变量：
∂ X F（X，Y）= G（X，Y）
∂ ÿ F（X，Y）= H（X，Y）。
偏导数的计算及其含义
要确定函数在与X轴平行的方向上特定点（x = a，y = b）的变化率或斜率：
1-计算函数∂ X F（X，Y）= G（X，Y），以在xy改变离开固定或恒定和可变的普通衍生物。
2-然后替换点x = a和y = b的值，其中我们想知道函数在x方向上的变化率：
{在点斜率在x方向（A，B）} =∂ X F（A，B）。
3-要计算坐标点（a，b）在y方向上的变化率，首先计算∂ 和 f（x，y）= h（x，y）。
4-然后将点（x = a，y = b）替换为先前的结果以获得：
{在点（A，B）斜率y方向} =∂ Ý F（A，B）
偏导数的例子
偏导数的一些示例如下：
例子1
给定功能：
f（x，y）= -x ^ 2-y ^ 2 + 6
求出函数f关于变量x和变量y的偏导数。
解：
∂xf = -2x
∂yf = -2y
注意，为了计算函数f相对于变量x的偏导数，进行了相对于x的普通导数，但是变量y已经取为常数。同样，在计算f对y的偏导数时，将变量x视为常数。
函数f（x，y）是图1中呈called石色的称为抛物面的表面。
例子2
根据示例1，在点（x = 1，y = 2）的X轴和Y轴方向上找到函数f（x，y）的变化率（或斜率）。
解决方案：为了找到在给定的点在x的斜率和y方向，可以替换为点的值代入函数∂ X F（X，Y）并进入功能∂ ÿ F（X，Y）：
∂ X F（1,2）= 1-2⋅= -2
∂ 和 f（1,2）=-2⋅2 = -4
图1显示了曲线的切线（红色），该曲线由函数f（x，y）与平面y = 2的交点确定，该线的斜率为-2。图1还显示了曲线的切线（绿色），该曲线定义了函数f与平面x = 1的交点；这条线的斜率为-4。
练习题
练习1
在给定时间的圆锥形玻璃包含水，因此水表面的半径为r，深度为h。但是玻璃的底部有一个小孔，水以每秒C立方厘米的速度流失。确定每秒从厘米水面下降的速率。
解：
首先，必须记住给定瞬间的水量为：
体积是两个变量（半径r和深度h）的函数：V（r，h）。
当体积变化无穷大dV时，水面半径r和水深h也根据以下关系变化：
的dV =∂ - [R V DR +∂ ħ V DH
我们分别计算v相对于r和h的偏导数：
∂ - [R V =∂ - [R（⅓πR ^ 2 H）=⅔πRH
∂ ħ V =∂ ħ（⅓πR ^ 2 H）=⅓πR ^ 2
此外，半径r和深度h满足以下关系：
将两个成员除以时间差dt得出：
dV / dt =πr ^ 2（dh / dt）
但是dV / dt是单位时间损失的水量，已知为每秒C厘米，而dh / dt是水的自由表面下降的速率，称为v。也就是说，给定瞬间的水面以以下速度v（单位为cm / s）下降：
v = C /（πr ^ 2）。
作为数值应用，假设r = 3 cm，h = 4 cm，泄漏率C为3 cm ^ 3 / s。那么，该时刻表面的下降速度为：
v = 3 /（π3 ^ 2）= 0.11 cm / s = 1.1 mm / s。
练习2
Clairaut-Schwarz定理指出，如果一个函数在其自变量中是连续的，并且相对于自变量的偏导数也是连续的，则二阶混合导数可以互换。检验该定理的函数
f（x，y）= x ^ 2 y，即f xy f = ∂yx f 必须是正确的。
解：
∂ XY F =∂ X（∂ Ý F）而∂ YX F =∂ ý（∂ X F）
∂ X F = 2的xy; ∂ ÿ F = X ^ 2
∂ XY F =∂ X（∂ Ý F）= 2×
∂ YX F =∂ ý（∂ X F）= 2×
Schwarz定理已证明成立，因为函数f及其偏导数对于所有实数都是连续的。
参考文献
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- Leithold，L。（1992）。具有解析几何的计算。南哈拉
- Purcell，EJ，Varberg，D。，&Rigdon，SE（2007）。计算。墨西哥：培生教育。
- Saenz，J。（2005）。微分学。斜边。
- Saenz，J。（2006）。积分演算。斜边。
- 维基百科。偏导数。从以下位置恢复：es.wikipedia.com