的代数衍生物组成的衍生物在代数函数的情况下的学习。派生概念的起源可以追溯到古希腊。解决这一重要问题的动机是需要解决两个重要问题，一个是物理问题，另一个是数学问题。
在物理学中，导数解决了确定运动物体瞬时速度的问题。在数学中，它允许您在给定点处找到曲线的切线。
尽管实际上还有更多的问题可以通过使用导数及其泛化来解决，但引入其概念后却产生了结果。
微分学的先驱是牛顿和莱布尼兹。在给出正式定义之前，我们将从数学和物理的角度发展其背后的想法。
导数作为曲线切线的斜率
假设函数y = f（x）的图是连续图（没有峰，顶点或间隙），令A =（a，f（a））是其上的固定点。我们想要找到在点A与函数f的图相切的直线方程。
让我们在图形上取得点A = P的任何其他点P =（x，f（x）），并绘制通过A和P的割线。割线是将曲线图切一的线或更多点。
要获得所需的切线，只需要计算斜率，因为线上已经有一个点：A点。
如果我们沿着图形移动点P并越来越接近点A，则前面提到的割线将接近我们要查找的切线。当“ P趋于A”时取极限，两条线将重合，因此它们的斜率也将重合。
割线的斜率由下式给出
说P接近A等于说“ x”接近“ a”。因此，在点A处，切线对f的曲线的斜率等于：
上面的表达式由f'（a）表示，并定义为函数f在“ a”点的导数。因此，从分析上我们看到，函数在某个点的导数是一个极限，但在几何上，它是该点处函数的曲线的切线的斜率。
现在我们将从物理学的角度来看这个概念。我们将通过不同的路径得出与先前限制相同的表达式，从而获得定义的一致。
作为运动物体瞬时速度的导数
让我们看一下瞬时速度的简要示例。例如，当说到一辆汽车到达目的地时，它以每小时100公里的速度行驶，这意味着它在一小时内行驶了100公里。
这并不一定意味着汽车在整整一个小时内始终保持100公里行驶，汽车的速度计可能在某些时刻会变少或变多。如果您需要在交通信号灯处停车，那时候的速度为0公里。但是，一个小时后，行程为100公里。
这就是所谓的平均速度，正如我们刚刚看到的那样，它是由行进距离与经过时间的商得出的。另一方面，瞬时速度是在给定的瞬间（时间）标记汽车速度计的指针的速度。
让我们现在更一般地看一下。假设一个物体沿着一条直线移动，并且该位移用等式s = f（t）表示，其中变量t测量时间，而变量s考虑到位移的开始时间t = 0的瞬间，此时它也为零，即f（0）= 0。
该函数f（t）被称为位置函数。
寻找在固定时刻“ a”处物体的瞬时速度的表达式。以这种速度，我们将用V（a）表示。
令t为接近瞬间“ a”的任何瞬间。在“ a”和“ t”之间的时间间隔中，对象位置的变化由f（t）-f（a）给出。
该时间间隔的平均速度为：
这是瞬时速度V（a）的近似值。当t接近“ a”时，这种近似会更好。从而，
注意，该表达式与在先前情况下获得的表达式相同，但是从不同的角度来看。如上所述，这就是在点“ a”处的函数f的导数，并由f'（a）表示。
请注意，进行更改h = xa时，我们具有当“ x”趋于“ a”时，“ h”趋于0，并且先前的限制被转换为（以等效方式）为：
这两个表达式是等效的，但有时视情况而定，最好使用一个而不是另一个。
然后，函数f在属于其域的任意点“ x”处的导数以更一般的方式定义为
表示函数y = f（x）的导数的最常见表示法是我们刚刚看到的一种表示形式（f'或y'）。但是，另一种广泛使用的表示法是莱布尼兹的表示法，它表示为以下任一表达式：
由于导数本质上是一个限制，因此可能会或可能不存在，因为限制并不总是存在。如果存在，则认为所讨论的功能在给定点是可微的。
代数函数
代数函数是通过加，减，乘积，商，幂和根的多项式的组合。
多项式是形式的表达式
P n =一个n x n +一个n-1 x n-1 +一个n-2 x n-2 +…+一个2 x 2 +一个1 x + a 0
其中n是自然数，所有i i（i = 0,1，…，n）是有理数且n ≠0。在这种情况下，该多项式的次数为n。
以下是代数函数的示例：
此处不包括指数函数，对数函数和三角函数。接下来将要看到的推导规则通常对于函数是有效的，但是我们将限制自己并将其应用于代数函数。
绕过规则
常数的导数
声明常数的导数为零。也就是说，如果f（x）= c，则f'（x）= 0。例如，常数函数2的导数等于0。
幂的导数
如果f（x）= x n，则f'（x）= nx n-1。例如，x 3的导数是3x 2。结果，我们得到恒等式函数f（x）= x的导数是f'（x）= 1x 1-1 = x 0 = 1。
另一个示例如下：令f（x）= 1 / x 2，然后f（x）= x -2和f'（x）=-2x -2-1 = -2x -3。
此属性也是有效的根，因为根是有理数的能力，并且在这种情况下也可以应用以上所述。例如，平方根的导数为
加法和减法的导数
如果f和g是x中的可微函数，则f + g之和也是可微的，并且满足（f + g）'（x）= f'（x）+ g'（x）。
类似地，我们有（fg）'（x）= f'（x）-g'（x）。换句话说，和（减）的导数是导数的和（或减）。
例
如果h（x）= x 2 + x-1，则
h'（x）=（x 2）+（x）'-（1）'= 2x + 1-0 = 2x + 1。
从产品派生
如果f和g在x中是可微函数，则乘积fg在x中也可微，并且确实
（fg）'（x）= f'（x）g（x）+ f（x）g'（x）。
结果是，如果c是常数，而f是x中的可微函数，则cf在x中也可微，并且（cf）'（x）= cf'（X）。
例
如果f（x）= 3x（x 2 +1），则
f'（x）=（3x）'（x 2 +1）+（3x）（x 2 +1）'= 3（x）'（x 2 +1）+ 3x
= 3（1）（x 2 +1）+ 3x = 3（x 2 +1）+ 3x（2x）= 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3。
商的导数
如果f和g在x处可微，并且g（x）≠0，则f / g在x处也可微，这是真的
示例：如果h（x）= x 3 /（x 2 -5x），则
h'（x）= /（x 5 -5x）2 = /（x 5 -5x）2。
连锁规则
该规则允许导出功能的组成。陈述以下内容：如果y = f（u）在u处可微，yu = g（x）在x处可微，那么复合函数f（g（x））在x处可微，并且'= f '（g（x））g'（x）。
即，复合函数的导数是外部函数的导数（外部导数）与内部函数的导数（内部导数）的乘积。
例
如果f（x）=（x 4 -2x）3，则
f'（x）= 3（x 4 -2x）2（x 4 -2x）'= 3（x 4 -2x）2（4x 3 -2）。
对于计算函数逆的导数，以及将其推广到高阶导数，也有结果。应用范围很广。其中，其在优化问题以及最大和最小功能方面的效用突出。
参考文献
- Alarcon，S.，González，M.和Quintana，H.（2008）。微分学。ITM。
- 卡布雷拉，VM（1997）。计算4000。社论Progreso。
- 卡斯塔尼奥，HF（2005）。计算之前的数学。麦德林大学。
- 爱德华多，NA（2003）。微积分介绍。阈值版本。
- Fuentes，A.（2016年）。基本数学。微积分入门。Lulu.com。
- Purcell，EJ，Rigdon，SE，和Varberg，DE（2007）。计算。培生教育。
- Saenz，J。（2005）。微分微积分（第二版）。Barquisimeto：斜边。
- Thomas，GB和Weir，MD（2006年）。计算：几个变量。培生教育。