一个四边形是具有四个边和四个顶点的多边形。它的相对侧是那些没有相同顶点的侧面，而连续的那边是那些具有相同顶点的侧面。
在四边形中，相邻的角共享一侧，而相反的角则没有侧。四边形的另一个重要特征是其四个内角的总和是平面角的两倍，即360º或2π弧度。
图1.各种四边形。资料来源：F. Zapata。
对角线是将顶点与其相对的顶点连接起来的线段，在给定的四边形中，可以从每个顶点绘制单个对角线。四边形的对角线总数为2。
四边形是自古以来人类已知的图形。考古记录以及今天幸存的建筑证明了这一点。
同样，今天，四边形在每个人的日常生活中继续占有重要地位。读者可以在此时正在阅读文本的屏幕上，窗户，门，汽车零件以及无数其他地方找到此表格。
四边形分类
根据相对侧的平行度，将四边形分类如下：
- 梯形，当没有平行度且四边形为凸形时。
- 梯形，当一对相对的侧面之间存在平行时。
- 平行四边形，当其相对侧两两平行时。
图2.四边形的分类和子分类。资料来源：维基共享资源。
平行四边形的类型
反过来，平行四边形可以根据其角度和侧面进行分类，如下所示：
- 矩形是具有四个等角内角的平行四边形。矩形的内角形成直角（90º）。
- 正方形，它是四个等长边的矩形。
- 菱形是具有四个相等边但相邻角度不同的平行四边形。
- 菱形，平行四边形具有不同的相邻角度。
空中飞人
梯形是具有两个平行边的凸四边形。
图3.梯形的底部，侧面，高度和中值。资料来源：维基共享资源。
-在梯形中，平行边称为底边，非平行边称为侧边。
-梯形的高度是两个基部之间的距离，即端部在基部并垂直于它们的线段的长度。该段也称为梯形的高度。
-中位数是连接支管中点的线段。可以看出，中间值与梯形的底边平行，并且其长度等于底边的和。
-梯形的面积是其高度乘以底数的半和：
梯形的类型
-矩形梯形：侧面与底面垂直的梯形。这边也是梯形的高度。
-等腰梯形：两边等长。在等腰梯形中，与底边相邻的角度相等。
-斜角梯形：其侧面具有不同长度的梯形。它的相对角度可以是一个锐角而另一个是钝角，但是也可能同时是两个钝角或两个都是锐角。
图4.梯形的类型。资料来源：F. Zapata。
平行四边形
平行四边形是一个四边形，其相对边两两平行。在平行四边形中，相反的角度相等，相邻的角度互为补充，或者换句话说，相邻的角度总计为180º。
如果平行四边形具有直角，那么所有其他角度也将都是直角，因此生成的图形称为矩形。但是，如果矩形的相邻边也具有相同的长度，则其所有边均相等，并且生成的图形为正方形。
图5.平行四边形。矩形，正方形和菱形是平行四边形。资料来源：F. Zapata。
当一个平行四边形的两个相邻边具有相同的长度时，其所有边将具有相同的长度，并且得到的图形是菱形。
平行四边形的高度是一个在其相对侧且垂直于其两端的线段。
平行四边形的面积
平行四边形的面积是底数乘以其高度的乘积，底数是垂直于高度的边（图6）。
平行四边形的对角线
从一个顶点开始的对角线的平方等于与该顶点相邻的两个侧面的平方之和加上这些侧面的两倍乘以该顶点的角度的余弦：
f 2 = a 2 + d 2 + 2 ad Cos（α）
图6.平行四边形。对角，高度，对角线。资料来源：F. Zapata。
与平行四边形的顶点相对的对角线的平方等于与该顶点相邻的两侧的平方之和，然后减去该边的两倍乘以该顶点的角度的余弦：
克2 =一个2 + d 2 - 2广告的Cos（α）
平行四边形定律
在任何平行四边形中，其边的平方和等于对角线的平方和：
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = f 2 + g 2
再ctángulo
矩形是一个四边形，其相对的边两两平行，并且还具有直角。换句话说，矩形是具有直角的平行四边形的一种。因为是平行四边形，所以矩形的相对边的长度分别为a = c和b = d。
但是，由于在任何平行四边形中相邻的角度都是互补的，并且相反的角度相等，在矩形中，因为它具有直角，所以在其他三个角度中一定会形成直角。换句话说，在一个矩形中，所有内角的大小均为90º或π/ 2弧度。
矩形的对角线
在矩形中，对角线的长度相等，如下所示。推理如下：矩形是所有直角的平行四边形，因此继承了平行四边形的所有属性，包括给出对角线长度的公式：
f 2 = a 2 + d 2 + 2 ad Cos（α）
克2 =一个2 + d 2 - 2广告的Cos（α）
α=90º
由于Cos（90º）= 0，因此会发生以下情况：
f 2 = g 2 = a 2 + d 2
也就是说，f = g，因此矩形的两个对角线的长度f和g相等，并且它们的长度由下式给出：
此外，如果在具有相邻边a和b的矩形中，以一侧为底，另一侧将为高度，因此矩形的面积为：
矩形的面积=轴b。
周长是矩形所有边的总和，但是由于对角相等，因此对于具有a和b边的矩形，周长由以下公式给出：
矩形的周长= 2（a + b）
图7.侧面为a和b的矩形。对角线f和g的长度相等。资料来源：F. Zapata。
广场
正方形是一个矩形，其相邻边的长度相同。如果正方形的边为a，则其对角线f和g具有相同的长度，即f = g =（√2）a。
正方形的面积是其边的平方：
平方面积= 2
正方形的周长是边的两倍：
正方形的周长= 4 a
图8.带有a边的正方形，指示其面积，周长和对角线的长度。资料来源：F. Zapata..
钻石
菱形是一个平行四边形，其相邻边的长度相同，但是由于在平行四边形中，相对的边相等，所以菱形的所有边的长度都相等。
菱形的对角线长度不同，但相交成直角。
图9. a边的菱形，指示其面积，周长和对角线的长度。资料来源：F. Zapata。
例子
例子1
表明在一个四边形（不交叉）中，内角总计为360º。
图10：显示了四边形的角度之和如何达到360º。资料来源：F. Zapata。
考虑四边形ABCD（参见图10），并绘制对角线BD。形成两个三角形ABD和BCD。三角形ABD的内角之和为：
α+β 1 +δ 1 = 180度
三角形BCD的内角之和为：
β2+γ+δ 2 = 180度
将两个方程相加得到：
α+β 1 +δ 1 +β 2 +γ+δ 2 = 180°+ 180°
分组：
α+（β 1 +β 2）+（δ 1 +δ 2）+γ= 2 * 180度
通过分组和重命名，最终显示出：
α+β+δ+γ=360º
例子2
证明梯形的中值与其底边平行，并且其长度是底边的和。
图11.梯形ABCD的中值MN。资料来源：F. Zapata。
梯形的中值是连接其边的中点（即非平行边）的线段。在图11所示的梯形ABCD中，中位数为MN。
由于M是AD的中点，而N是BC的中点，因此AM / AD和BN / BC之比相等。
也就是说，AM与BN成正比，与AD与BC成正比，因此给出了应用Thales（对等）定理的条件，该条件如下：
“如果在由两个割线切成的三条或更多条线中确定比例段，则这些线都是平行的。”
在我们的案例中，可以得出以下结论：线MN，AB和DC彼此平行，因此：
“梯形的中值与其底线平行。”
现在将应用Thales定理：
“由两个或多个割线割开的一组平行线确定了比例段。”
在我们的情况下，AD = 2 AM，AC = 2 AO，因此三角形DAC与三角形MAO相似，因此DC = 2 MO。
类似的论点可以使我们确认CAB与CON相似，其中CA = 2 CO而CB = 2 CN。紧接着AB = 2 ON。
简而言之，AB = 2 ON，DC = 2 MO。因此，添加时，我们有：
AB + DC = 2开+ 2 MO = 2（MO +开）= 2 MN
最后MN被清除：
MN =（AB + DC）/ 2
得出的结论是，梯形的中位数测量底数的半和，换句话说：中位数测量底数的总和除以二。
例子3
证明菱形中的对角线相交成直角。
图12.菱形及其演示，其对角线以直角相交。资料来源：F. Zapata。
图12中的黑板显示了必要的构造。首先用AB = BC绘制平行四边形ABCD，即菱形。对角线AC和DB确定了图中所示的八个角度。
使用定理（aip）指出由割线切成的平行线之间的交替内角确定相等的角度，我们可以建立以下条件：
α 1 =γ 1，α2=γ2，δ 1 =β 1和δ2=β2。（*）
另一方面，由于菱形的相邻边等长，所以确定了四个等腰三角形：
DAB，BCD，CDA和ABC
现在调用三角（等腰）定理，该定理指出与底角相邻的角度是等量的，由此得出的结论是：
δ 1 =β2，δ2=β 1，α2=γ 1和α 1 =γ2（**）
如果将关系（*）和（**）合并，则达到以下角度相等：
α 1 =α2=γ 1 =γ 1在一方面，β 1 =β2=δ 1 =δ2为另一方。
回顾相等三角形定理，该定理指出两个相等边之间相等边的两个三角形相等，我们有：
AOD = AOB，因此角度∡AOD=∡AOB。
那么∡AOD+∡AOB=180º，但是由于两个角度的大小相等，因此我们有2个∡AOD=180º，这意味着∡AOD=90º。
即，从几何上示出菱形的对角线以直角相交。
练习解决
-练习1
证明在一个右梯形中，非直角是互补的。
解
图13.右梯形。资料来源：F. Zapata。
梯形ABCD的基座AB和DC平行。顶点A的内角是正确的（它测量90º），所以我们有一个正确的梯形。
角度α和δ是两个平行线AB和DC之间的内角，因此它们相等，即δ=α=90º。
另一方面，已经证明四边形的内角之和总计为360º，即：
α+β+γ+δ=90º+β+90º+δ=360º。
以上导致：
β+δ=180º
确认要显示的是角度β和δ是互补的。
-练习2
平行四边形ABCD的AB = 2 cm，AD = 1 cm，此外，角度BAD为30º。确定此平行四边形的面积及其两个对角线的长度。
解
平行四边形的面积是其底长和高度的乘积。在这种情况下，线段的长度b = AB = 2 cm将作为基础，另一侧的长度为a = AD = 1 cm，高度h的计算如下：
h = AD * Sen（30º）= 1厘米*（1/2）= 1/2厘米。
因此：面积= b * h = 2 cm *½cm = 1 cm 2。
参考文献
- CEA（2003）。几何元素：具有练习和罗盘几何。麦德林大学。
- Campos，F.，Cerecedo，FJ（2014）。数学2. Grupo编辑Patria。
- Freed，K.（2007年）。发现多边形。基准教育公司。
- Hendrik，V.（2013年）。广义多边形。Birkhäuser。
- 艾格 （科幻）。数学第一学期塔卡纳。艾格
- 小几何。（2014）。多边形。露露出版社
- 米勒，海伦和霍恩斯比。（2006）。数学：推理与应用（第十版）。培生教育。
- 帕蒂尼奥（2006）。数学5。社论Progreso。
- 维基百科。四边形。从以下位置恢复：es.wikipedia.com