该三角形是平的，封闭的几何图中，由三个侧面。三角形由三条直线相交而成，三条直线相交成两个角度。充满象征意义的三角形形状存在于无数物体中，并作为建筑元素。
三角形的原点在历史上已经消失了。从考古学证据中得知，原始人类对此非常了解，因为考古遗迹证实了它已被用于工具和武器。
图1.三角形。资料来源：Publicdomainpictures。
同样明显的是，古埃及人具有扎实的几何学知识，尤其是三角形。它们反映在其纪念性建筑的建筑元素中。
在Rhind纸莎草纸中，您将找到用于计算三角形和梯形的面积以及一些体积和基本三角学概念的公式。
就他们而言，众所周知，巴比伦人能够计算出三角形和其他几何图形的面积，他们将其用于实际目的，例如土地划分。他们还了解三角形的许多特性。
但是，是古希腊人将当今流行的许多几何概念系统化了，尽管其中的许多知识不是唯一的，因为它肯定与其他古代文明共享。
三角形元素
下图中指示了任何三角形的元素。有三个：顶点，边和角度。
图2.三角形及其元素的符号。资料来源：维基共享资源，由F. Zapata修改
-顶点：是线段的交点，其线段决定了三角形。在上图中，例如，包含线段AC 的线L AC与包含线段AB的线L AB正好在点A 相交。
- 边：在每对顶点之间绘制一条线段，该线段构成三角形的一侧。该段可以用结尾字母表示，也可以使用特定字母来表示。在图2的示例中，侧面AB也被称为“ c”。
- 角度：在具有共同顶点的每一侧之间产生一个角度，该角度的顶点与三角形的顶点重合。通常，如开头所述，该角度用希腊字母表示。
要构建具有给定形状和大小的特定三角形，只需具有以下数据集之一：
-三个边，在三角形的情况下非常明显。
-两侧以及它们之间的角度，并立即绘制其余的一侧。
-两个（内部）角度以及它们之间的侧面。通过扩展，画出了两个缺失的边，三角形就准备好了。
符号
通常，在三角符号中使用以下约定：顶点由大写拉丁字母表示，边由小写拉丁字母表示，角度由希腊字母表示（见图2）。
这样，三角形将根据其顶点命名。例如，图2左边的三角形是三角形ABC，右边的三角形是三角形A'B'C'。
也可以使用其他符号。例如，图2中的角度α表示为BAC。请注意，顶点字母位于中间，并且字母沿逆时针方向书写。
其他时候，用尖号表示角度：
α=∠A
三角形的类型
有几个分类三角形的标准。最常见的事情是根据侧面的尺寸或角度的角度对它们进行分类。取决于边的尺寸，三角形可以是：斜角，等腰或等边形：
-Scaleno：它的三个方面是不同的。
-等腰：它有两个相等的边和一个不同的边。
-Equilátero：三个方面相等。
图3.三角形的边沿分类。资料来源：F. Zapata
根据角度的大小，三角形的命名如下：
- 障碍物（如果其中一个内角大于90º）。
- 锐角，当三角形的三个内角为锐角时，即小于90º
- 矩形，如果其内角之一为90º。形成90º的一侧称为支腿，与直角相反的一侧称为斜边。
图4.三角形的内角分类。资料来源：F. Zapata。
三角形的同余
当两个三角形具有相同的形状和相同的大小时，它们被认为是全等的。当然，全等与等式有关，那么为什么几何学说的是“两个全等三角形”而不是“两个相等三角形”呢？
好吧，最好使用术语“全等”来坚持事实，因为两个三角形可以具有相同的形状和大小，但在平面上的取向不同（请参见图3）。从几何学的角度来看，它们将不再严格相同。
图5.同等三角形，但不一定相等，因为它们在平面中的方向不同。资料来源：F. Zapata。
同余条件
如果发生以下任一情况，则两个三角形相等：
-三边的尺寸相同（同样，这是最明显的）。
-它们具有两个相同的侧面，并且彼此之间具有相同的角度。
-两者都具有两个相同的内角，并且这些角之间的边的尺寸相同。
可以看出，这大约是两个满足必要条件的三角形，因此在构建它们时，它们的形状和大小完全相同。
一致性标准非常有用，因为在实践中，无数的零件和机械零件必须以其尺寸和形状完全相同的方式串联制造。
三角形的相似性
即使三角形具有相同的形状，即使它们具有不同的大小，它也类似于另一个三角形。为了确保形状相同，要求内角具有相同的值且侧面成比例。
图6.两个相似的三角形：它们的大小不同但比例相同。资料来源：F. Zapata。
图2中的三角形也与图6中的三角形相似。
对于侧面，以下相似率成立：
物产
三角形的基本属性如下：
-任何三角形的内角总和始终为180º。
-对于任何三角形，其外角之和等于360°。
-三角形的外角等于不邻近所述角度的两个内角之和。
定理
泰雷兹第一定理
它们归因于希腊哲学家和数学家米勒图斯（Thales of Miletus），他开发了几种与几何相关的定理。其中第一个陈述如下：
图7. Thales定理。资料来源：F. Zapata。
换一种说法：
a / a´= b / b´= c / c´
Thales的第一个定理适用于一个三角形，例如，我们左边有蓝色三角形ABC，右边有红色平行线切掉了它：
图8. Thales定理和相似的三角形。
紫色三角形AB'C'与蓝色三角形ABC相似，因此，根据Thales定理，可以写出以下内容：
AB´ / AC´ = AB / AC
这与先前在三角形相似性部分中所解释的一致。顺便说一下，平行线也可以垂直于或平行于斜边，并且以相同的方式获得相似的三角形。
泰雷兹第二定理
该定理还涉及以O为中心的三角形和圆形，如下所示。在此图中，AC是圆周的直径，B是圆周上的一个点，B与A和B不同。
泰雷兹第二定理指出：
图9. Thales第二定理。资料来源：维基共享资源。感性负载。
勾股定理
这是历史上最著名的定理之一。它由萨摩斯（569-475 BC）的希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）所制，适用于直角三角形。这样说：
如果我们以图8中的蓝色三角形或紫色三角形为例，因为它们都是矩形，那么可以这样说：
AC 2 = AB 2 + BC 2（蓝色三角形）
AC´ 2 = AB´ 2 + BC´ 2（紫色三角形）
三角形的面积
三角形的面积由底数a与高度h的乘积除以2。
图10.三角形的面积 资料来源：维基共享资源。
三角形的例子
例子1
据说泰勒斯通过他的第一个定理，通过测量它投射在地面上的阴影和被钉入地面的木桩投射的阴影，来测量埃及金字塔的高度，这是古代世界七大奇观之一。
这是Tales遵循的过程的概要：
图11.通过三角形的相似性来测量大金字塔高度的方案。资料来源：维基共享资源。达克
泰雷兹正确地假设太阳的光线平行照射。考虑到这一点，他设想了右侧的大直角三角形。
D是金字塔的高度，C是从地面到金字塔在沙漠地面上投射的阴影从地面到地面的距离。测量C可能很费力，但肯定比测量金字塔的高度容易。
左侧是带有脚A和B的小三角形，其中A是将木桩垂直打入地面的高度，B是其投射的阴影。两种长度都可以测量，C也可以测量（C等于阴影的长度+金字塔长度的一半）。
因此，通过三角形的相似性：
A / B = D / C
大金字塔的高度竟然是：D =C。（A / B）
例子2
民用建筑中的桁架是由纵横交错的木质或金属细直条制成的结构，可在许多建筑物中用作支撑。它们也称为桁架，桁架或桁架。
在三角形中始终存在三角形，因为钢筋在称为节点的点处相互连接，可以固定或铰接。
图12.该桥的框架中存在三角形。资料来源：摄影。
例子3
已知的三角剖分方法允许知道其他更容易测量的距离，从而获得难以接近的点的位置，前提是要形成一个三角形，其中包括其顶点之间的所需位置。
例如，在下图中，我们想知道船在海上的位置，记为B。
图13.定位船舶的三角剖分方案。资料来源：维基共享资源。科莱特
首先，测量海岸两点之间的距离，图中两点之间的距离为A和C。接下来，必须借助经纬仪（用于测量垂直和水平角度的设备）确定角度α和β。
利用所有这些信息，将在三角形的顶部建立船。仍然需要使用三角形的属性来计算角度γ，并使用三角学来计算距离AB和CB来确定船舶在海中的位置。
练习题
练习1
在所示的图中，太阳光线是平行的。这样，5米高的树在地面上投下了6米的阴影。同时，建筑物的阴影为40米。按照Thales的第一定理，找到建筑物的高度。
图14.解决方案的方案1.来源：F. Zapata。
解
红色三角形的边长分别为5米和6米，蓝色三角形的边高为H（建筑物的高度），底边为40米。两个三角形相似，因此：
练习2
您需要知道两个点A和B之间的水平距离，但是它们位于非常不平坦的地面上。
大约在上述地形的中点（P m）处突出了1.75米高的凸起。如果卷尺指示从A到凸起的长度为26米，从B到同一点的长度为27米，则找到距离AB。
图15.解决方案的方案2.来源：Jiménez，R. Mathematics II。几何和三角学。
解
勾股定理适用于图中的两个直角三角形之一。从左边的一个开始：
斜边= c = 26米
高度= a = 1.75米
AP 米 =（26 2 - 1.75 2）1/2 =25.94米
现在在右侧的三角形中应用毕达哥拉斯，这次c = 27米，a = 1.75米。使用这些值：
BP 米 =（27 2 - 1.75 2）1/2 =26.94米
距离AB通过添加以下结果来找到：
AB = 25.94 m + 26.94 m = 52.88 m。
参考文献
- Baldor，JA，1973年。《平面和空间几何》。中美洲文化。
- Barredo，D。三角形的几何形状。从以下网站恢复：ficus.pntic.mec.es。
- Jiménez，R.，2010年。《数学II》。几何和三角学。第二版。皮尔森
- Wentworth，G。《平面几何》。摘自：gutenberg.org。
- 维基百科。三角形。从以下位置恢复：es。wikipedia.org。