一个超立方体是n维立方体。三维超立方体的特殊情况称为tesseract。超立方体或n立方体由直的段组成，这些段的长度相等，并且在其顶点处正交。
人类可以感知三维空间：宽度，高度和深度，但是我们无法可视化尺寸大于3的超立方体。
图1. 0多维数据集是一个点，如果该点沿一定距离a的方向延伸形成一个1多维数据集，如果该1多维数据集在正交方向上延伸一个距离a，我们得到一个2多维数据集（从边x到a），如果2立方体在正交方向上延伸了距离a，则我们有3立方体。资料来源：F. Zapata。
至多我们可以在三维空间中对其进行投影来表示它，类似于将多维数据集投影到平面上以表示它的方式。
在维度0中，唯一的数字是点，因此0多维数据集是点。1立方体是直线段，它是通过将一个点沿一个方向移动距离a而形成的。
就其本身而言，2多维数据集是一个正方形。它是通过在垂直于x方向的y方向上移动1多维数据集（长度为a的线段）的距离a来构造的。
3-cube是常见的多维数据集。通过在与x和y方向正交的第三方向（z）上移动距离a，从正方形开始构建。
图2. 4立方体（tesseract）是3立方体在与三个常规空间方向正交的方向上的延伸。资料来源：F. Zapata。
4立方是tesseract，它是由3立方构建的，将其正交移动到第四维度（或第四方向），这是我们无法感知的距离a。
一条苔藓植物具有所有直角，具有16个顶点，并且其所有边缘（总共18个）的长度a相同。
如果尺寸为n的n立方体或超立方体的边缘长度为1，则它是单位超立方体，其中最长对角线为√n。
图3.从一个多维数据集（n-1）中获得一个n多维数据集，该多维数据集在下一维中正交延伸。资料来源：维基共享资源。
尺寸是多少？
尺寸是自由度或对象可以移动的可能方向。
在维度0中，无法平移，唯一可能的几何对象是点。
欧几里得空间中的一个尺寸由定义该尺寸的定向线或轴（称为X轴）表示，两个点A和B之间的距离为欧几里得距离：
d ＝√。
在二维空间中，空间由两条相互正交的线表示，称为X轴和Y轴。
二维空间中任意点的位置由其笛卡尔坐标对（x，y）给出，任意两个点A和B之间的距离为：
d =√
因为它是满足欧几里得几何形状的空间。
三维空间
三维空间是我们在其中移动的空间。它具有三个方向：宽度，高度和深度。
在空荡荡的房间中，垂直角给出了这三个方向，我们可以将每个轴关联一个轴：X，Y，Z。
这个空间也是欧几里得，并且两个点A和B之间的距离计算如下：
d =√
人类不能感知超过三个空间（或欧几里得）的维度。
但是，从严格的数学角度来看，可以定义n维欧氏空间。
在此空间中，一个点的坐标为：（x1，x2，x3，…..，xn），两个点之间的距离为：
d ＝√。
第四维度和时间
确实，在相对论中，时间被视为另一个维度，并且坐标与之相关。
但是必须澄清的是，这个与时间相关的坐标是一个虚数。因此，时空上的两个点或事件的分离不是欧几里得，而是遵循洛伦兹度量。
三维超立方体（tesseract）不存在于时空中，而是属于三维欧几里得超空间。
图4.围绕一个平面简单旋转的三维超立方体的3D投影，该平面将图形从前向左，从后向右以及从上到下进行划分。资料来源：维基共享资源。
超立方体的坐标
通过对以下表达式进行所有可能的置换，可以获得以原点为中心的n立方体的顶点的坐标：
（a / 2）（±1，±1，±1，..，±1）
其中a是边的长度。
- 边a的n立方体的体积为：（a / 2）n（2 n）= a n。
- 最长的对角线是相对顶点之间的距离。
-以下是正方形中的相对顶点：（-1，-1）和（+1，+1）。
-然后在一个立方体中：（-1，-1，-1）和（+ 1，+ 1，+ 1）。
-The 最长对角线的正立方体措施：
d =√=√=2√n
在这种情况下，假设边为a = 2。对于任一侧的n立方体，将是
d =a√n。
-tesseract的16个顶点中的每个顶点都连接到四个边缘。下图显示了在tesseract中如何连接顶点。
图5.显示了一个多维超立方体的16个顶点及其连接方式。资料来源：维基共享资源。
超立方体的展开
规则的几何图形（例如多面体）可以展开为几个较小尺寸的图形。
如果是2立方体（正方形），则可以分为四个部分，即四个1立方体。
同样，一个3多维数据集可以展开为六个2多维数据集。
图6.一个n多维数据集可以展开为几个（n-1）个多维数据集。资料来源：维基共享资源。
一个4立方（tesseract）可以展开为八个3立方。
以下动画显示了tesseract的展开。
图7.一个4维超立方体可以展开为八个三维立方体。资料来源：维基共享资源。
图8.围绕两个正交平面执行两次旋转的三维超立方体的三维投影。资料来源：维基共享资源。
参考文献
- 科学文化。超立方体，可视化第四维度。取自：culturacientifica.com
- Epsilons。三维超立方体或金属镶嵌。从以下位置恢复：epsilones.com
- Perez R，AguileraA。一种从超立方体（4D）的开发中获得镶嵌物的方法。从以下来源恢复：researchgate.net
- Wikibooks。数学，多面体，超立方体。从以下位置恢复：es.wikibooks.org
- 维基百科。超立方体。从以下位置恢复：en.wikipedia.com
- 维基百科。Tesseract。从以下位置恢复：en.wikipedia.com