随机变量X 的数学期望值或期望值表示为E（X），并定义为随机事件发生的概率与所述事件的值之间的乘积之和。
用数学形式表示如下：
图1.数学期望在股票市场和保险中广泛使用。资料来源：
其中x i是事件的值，P（x i）是事件的发生概率。总和扩展到X允许的所有值。如果它们是有限的，则指示的总和收敛到值E（X），但是如果总和不收敛，则该变量根本就没有期望值。
当它是一个连续变量x时，该变量可以具有无穷大的值，并且积分代替求和：
在此，f（x）表示概率密度函数。
通常，除非我们处理的是每个事件均等可能的离散分布，否则数学期望（加权平均值）不等于算术平均值或平均值。然后，只有这样：
其中n是可能值的数量。
这个概念在通常缺乏确定性但存在概率的金融市场和保险公司中非常有用。
数学期望的性质
在数学期望的最重要属性中，以下几点突出：
-符号：如果X为正，则E（X）也为正。
-常数的期望值：实常数k的期望值是常数。
-总和的线性：随机变量的期望值，即两个变量X和Y的总和又是期望值的总和。
E（X + Y）= E（X）+ E（Y）
-与常数相乘：如果随机变量的形式为kX，其中k为常数（实数），则它会超出期望值。
-乘积的期望值和变量之间的独立性：如果随机变量是随机变量X和Y的乘积，它们是独立的，则乘积的期望值就是期望值的乘积。
通常，如果Y = g（X）：
-按期望值排序：如果X≤Y，则：
由于每个都有期望值。
投注的数学期望
当著名的天文学家克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens，1629-1695年）没有观察到天空时，他致力于研究机会游戏中的概率等问题。正是他在1656年的作品《机会博弈的推理》中引入了数学希望的概念。
图2.克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629年至1625年）是一位才华横溢的多才多艺的科学家，我们欠了期望值的概念。
惠更斯发现，根据期望值可以将赌注分为三种方式：
-优势游戏：E（X）> 0
-一般下注：E（X）= 0
-处于劣势的游戏：E（X）<0
问题在于，在偶然的博弈中，数学期望并不总是容易计算的。而且，如果有可能，结果有时会让那些怀疑是否下注的人感到失望。
让我们尝试一个简单的赌注：正面或反面，失败者支付1美元的咖啡。该投注的预期价值是多少？
好吧，一个头被滚动的概率是½，等于一个头。随机变量是获得$ 1或损失$ 1，增益用+号表示，损失用符号-表示。
我们将信息组织在一个表中：
我们将列的值相乘：1.½=½和（-1）。½=-½，最后将结果相加。总和为0，这是一个公平的游戏，参与者不会赢也不会输。
法式轮盘和彩票是让大多数玩家输掉的让分游戏。稍后，“已解决的练习”部分将进行一个稍微复杂的下注。
例子
以下是一些简单的示例，其中数学期望的概念很直观并阐明了这一概念：
例子1
我们将以诚实的态度开始。发射的期望值是多少？好吧，如果骰子是诚实的且有6个头，则任何值（X = 1、2、3…6）滚动的概率为1/6，如下所示：
E（X）= 1.（1/6）+ 2.（1/6）+ 3.（1/6）+ 4.（1/6）+ 5.（1/6）+ 6.（1 / 6）= 21/6 = 3.5
图3.在诚实的掷骰中，期望值不是可能的值。资料来源：
在这种情况下，期望值等于平均值，因为每个面孔都有相同的可能性出现。但是E（X）是不可能的值，因为没有头值3.5。在某些发行中这是完全可能的，尽管在这种情况下结果对下注者没有太大帮助。
让我们看另一个扔两个硬币的例子。
例子2
两枚诚实的硬币被扔向空中，我们将随机变量X定义为滚动的头数。可能发生的事件如下：
-没有正面出现：0正面等于2背面。
-出来1头和1邮票或十字架
-两张脸出来。
令C为头部，T为密封，描述这些事件的样本空间如下：
S m = {Seal-Seal; 密封面 面部密封；脸部} = {TT，TC，CT，CC}
事件发生的概率为：
P（X = 0）= P（T）.P（T）= 1/2。½=¼
P（X = 1）= P（TC）+ P（CT）= P（T）.P（C）+ P（C）.P（T）=¼+¼=½
P（X = 2）= P（C）。P（C）=½。½=¼
该表是使用获得的值构建的：
根据开头给出的定义，数学期望的计算公式为：
替换值：
E（X）=0。¼+ 1.½+ 2.¼=½+½= 1
结果解释如下：如果一个人有足够的时间通过扔两个硬币来进行大量实验，则预计他会在每次扔掷中都领先。
但是，我们知道完全可以发布带有2个标签的版本。
运动解决
在掷出两枚诚实硬币的过程中，下注如下：如果有2枚正面硬币，您将赢得3美元，如果有1枚正面硬币，您将赢得1美元，但是如果有2枚邮票，您将需要支付5美元。计算下注的预期获胜。
图4.根据下注，掷出两个诚实硬币时数学期望会发生变化。资料来源：
解
随机变量X是下注中的金额，表示在下一个示例中计算出的赔率，因此下注表为：
E（X）= 3。¼+ 1.½+（-5）。¼= 0
由于期望值为0，因此这是公平的游戏，因此在此投注者预期不会赢也不会输。但是，可以改变下注量以使下注成为差点游戏或让分游戏。
参考文献
- Brase，C.，2009年。《可理解的统计数据》。霍顿·米夫林（Houghton Mifflin）。
- Olmedo，F.随机变量的期望值或数学期望的概念介绍。从以下网站恢复：personal.us.es。
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- Triola，M.，2010年。基本统计。11号 艾迪生·韦斯利（Ed。Addison Wesley）。
- Walpole，R.，2007年。《科学与工程的概率与统计》。8号 版。培生教育。