所述泊松分布是离散概率分布，通过该有可能知道的概率，大的样本大小和内以一定的间隔，事件，其概率是小会发生时。
通常，只要满足以下条件，就可以使用泊松分布代替二项式分布：大样本和小概率。
图1.不同参数的泊松分布图。资料来源：维基共享资源。
Siméon-DenisPoisson（1781-1840）创建了一个以他的名字命名的发行版，在发生不可预测的事件时非常有用。泊松（Poisson）于1837年发表了他的研究结果，这项研究是对错误刑事判决发生的可能性的调查。
后来，其他研究人员修改了其他区域的分布，例如，在一定空间中可以发现的恒星数量，或士兵死于马踢的概率。
公式和方程式
泊松分布的数学形式如下：
-μ（有时也表示为λ）是分布的均值或参数
-欧拉数：e = 2.71828
-获得y = k的概率为P
-k是成功次数0、1、2、3…
-n是测试或事件的数量（样本大小）
顾名思义，离散随机变量取决于机会，并且仅采用离散值：0、1、2、3、4…，k。
分布的平均值由下式给出：
衡量数据散布的方差σ是另一个重要参数。对于泊松分布，它是：
σ=μ
泊松确定，当n→∞，且p→0时，平均值μ-也称为期望值-趋于一个常数：
-考虑的事件或事件彼此独立，并且随机发生。
-在特定时间段内发生特定事件的概率P非常小：P→0。
-在此时间间隔内发生多个事件的概率为0。
-平均值近似为以下常数：μ= np（n为样本量）
-由于色散σ等于μ，因此采用较大的值，因此变异性也会变大。
-事件必须在使用的时间间隔内平均分配。
-事件y的可能值集为：0、1、2、3、4…。
-遵循泊松分布的i变量之和也是另一个泊松变量。它的平均值是这些变量的平均值之和。
与二项式分布的差异
泊松分布与二项式分布在以下重要方面不同：
-二项式分布受样本大小n和概率P的影响，但泊松分布仅受平均值μ的影响。
-在二项分布中，随机变量y的可能值为0,1,2，…，N，而在泊松分布中，这些值没有上限。
例子
泊松最初将其著名的分布应用于法律案件，但在工业层面上，他最早的用途之一是酿造啤酒。在该过程中，酵母培养物用于发酵。
酵母由活细胞组成，活细胞的数量随时间变化。在啤酒的制造中，有必要添加必要的量，因此有必要知道每单位体积的细胞数量。
第二次世界大战期间，使用Poisson分布来确定德国人实际上是从加来瞄准伦敦，还是随机射击。这对于盟国确定纳粹可获得的技术有多重要。
实际应用
泊松分布的应用始终指时间计数或空间计数。而且由于发生的可能性很小，因此也被称为“罕见事件定律”。
以下是属于以下类别之一的事件的列表：
-放射性衰变中的粒子配准，就像酵母细胞的生长一样，是指数函数。
-访问某个网站的次数。
-到达支付或参加排队的人员（排队论）。
-在给定的时间间隔内，通过某点的汽车数量。
图2.通过一个点的汽车数量大致遵循泊松分布。资料来源：
-暴露于辐射后，某些DNA链中发生突变。
-一年内掉落的直径大于1 m的陨石数量。
-织物每平方米的缺陷。
-1立方厘米的血细胞数量。
-每分钟呼叫一次电话交换机。
-1公斤面糊中的巧克力碎片。
-在1公顷的森林中被某种寄生虫感染的树木数量。
请注意，这些随机变量表示事件在固定时间段（每分钟致电电话交换机）或给定空间区域（每平方米织物缺陷）内发生事件的次数。
正如已经确定的那样，这些事件与自上次发生以来经过的时间无关。
用泊松分布近似二项式分布
只要满足以下条件，泊松分布就可以很好地近似二项式分布：
-样本量大：n≥100
-概率p小：p≤0.1
-μ的顺序为：np≤10
在这种情况下，泊松分布是一个极好的工具，因为在这些情况下二项式分布可能很难应用。
解决的练习
练习1
一项地震研究确定，在过去的100年中，世界范围内发生了93次大地震，至少在里氏对数级上发生了6.0级。假设在这种情况下，泊松分布是合适的模型。找：
a）每年平均发生大地震。
b）如果P（y）是在随机选择的一年中发生地震的概率，请找到以下概率：
它远远小于P（2）。
结果如下：
P（0）= 0.395，P（1）= 0.367，P（2）= 0.171，P（3）= 0.0529，P（4）= 0.0123，P（5）= 0.00229，P（6）= 0.000355，P （7）= 0.0000471。
例如，我们可以说有39.5％的概率在给定年份内不会发生大地震。或者说那年发生了3次大地震，占5.29％。
解决方案c）
c）分析频率，乘以n = 100年：
39.5；36.7；17.1; 5.29; 1.23; 0.229；0.0355和0.00471。
例如：
-频率39.5表示在100年中的39.5年中，发生了0次大地震，可以说，这与47年没有发生大地震的实际结果非常接近。
让我们将另一个泊松结果与实际结果进行比较：
-获得的36.7的值表示在37年内发生1次大地震。实际结果是，在31年中发生了1次大地震，与该模型非常吻合。
-预计会有2次大地震发生17.1年，并且众所周知，在13年这是一个接近的值，确实发生了2次大地震。
因此，在这种情况下，泊松模型是可以接受的。
练习2
一家公司估计，在达到100个工作小时之前，发生故障的组件数量遵循泊松分布。如果该时间的平均故障数为8，则找到以下概率：
a）一个组件在25小时内发生故障。
b）在50小时内出现少于两个组件的故障。
c）125小时内至少有三个组件发生故障。
解决方案）
a）已知100小时内的平均故障数为8，因此在25小时内，预计会有四分之一的故障，即2次故障。这将是μ参数。
请求1个组件发生故障的概率，随机变量为“ 25小时之前发生故障的组件”，其值为y = 1。通过替换概率函数：
但是，问题是在50小时内少于两个组件发生故障的概率，而不是在50小时内恰好有两个组件发生故障，因此我们必须添加以下概率：
-没有失败
-仅故障1
在这种情况下，分布的参数μ为：
μ= 8 + 2 = 125小时内发生10次故障。
P（3个或更多组件失败）= 1- P（0）-P（1）-P（2）=
参考文献
- MathWorks。泊松分布。从以下位置恢复：es.mathworks.com
- Mendenhall，W.1981。《管理与经济学统计》。第三名 版。Grupo编辑Iberoamérica。
- Stat Trek。教自己统计。泊松分布。恢复自：stattrek.com，
- Triola，M.，2012年。《基本统计》。11号 Ed Pearson教育。
- 维基百科。泊松分布。从以下位置恢复：en.wikipedia.org