在斯坦纳的定理，也被称为平行轴定理，要评估的延伸体的转动惯量，围绕轴线平行于另一穿过物体的质量中心。
它是由瑞士数学家雅各布·史坦纳（Jakob Steiner，1796-1863年）发现的，其状态如下：设I CM为物体相对于通过其质心CM 的轴的惯性矩，I z为相对于另一轴的惯性矩。与此平行。
图1.在其铰链上旋转的矩形门具有一个惯性矩，可以通过应用斯坦纳定理来计算。资料来源：
知道分开两个轴的距离D和所讨论物体的质量M，相对于未知轴的惯性矩为：
转动惯量表示物体绕特定轴旋转的难易程度。它不仅取决于身体的质量，还取决于其分布方式。因此，它也被称为转动惯量，是国际系统千克中的单位。m 2。
该定理表明，惯性矩I z总是比惯性矩I CM大 MD 2给出的量。
应用领域
由于物体能够绕多个轴旋转，并且在表中通常仅给出相对于穿过质心的轴的惯性矩，因此，斯坦纳定理在需要绕轴旋转物体时简化了计算与此不符的
例如，门通常不绕通过其质心的轴线旋转，而是绕铰链所附着的侧向轴线旋转。
通过知道惯性矩，可以计算与绕所述轴线旋转相关的动能。如果K为动能，则I为所讨论轴的惯性矩，ω为角速度，则得出：
对于质量为M的物体以速度v运动：K =½Mv 2，该方程式非常类似于动能公式。而且，转动中的惯性矩或转动惯性I与平移中的质量M扮演着相同的角色。
斯坦纳定理的证明
扩展对象的惯性矩定义为：
I =∫r 2 dm
其中dm是质量的无穷小部分，r是dm与旋转轴z之间的距离。在图2中，该轴与质量中心CM相交，但是可以是任何中心。
图2.绕两个平行轴旋转扩展的对象。资料来源：F. Zapata。
围绕另一个z轴，惯性矩为：
I z =∫（r'）2 dm
现在，根据由向量D，r和r'组成的三角形（参见右侧的图2），有一个向量和：
r + r' = D → r' = D - r
这三个向量位于对象的平面上，可以是xy。在CM中选择坐标系（0,0）的原点，以方便随后的计算。
这样，向量r'的平方模为：
现在，将这种发展替换为惯性矩I z的积分，并使用密度dm =ρ.dV的定义：
Steiner定理中出现的术语M. D 2来自第一个积分，第二个是相对于穿过CM的轴的惯性矩。
就其本身而言，第三和第四积分的值为0，因为根据定义，它们构成了CM的位置，该位置已被选作坐标系（0,0）的原点。
解决的练习
-解决的练习1
图1中的矩形门重23千克，宽1.30毫米，高2.10 m。假设门薄且均匀，则确定门相对于穿过铰链的轴的惯性矩。
图3.工作示例的示意图1.来源：修改自Pixabay。
解
从惯性矩表中，对于质量为M且尺寸为a和b的矩形板，相对于通过其质心的轴的惯性矩为：I CM =（1/12）M（a 2 + b 2）。
将假定为同质门（近似值，因为图中的门可能不是这样）。在这种情况下，质心穿过其几何中心。在图3中，绘制了穿过质心的轴线，并且该轴线还平行于穿过铰链的轴线。
I CM =（1/12）x 23公斤x（1.30 2 +2.10 2）m 2 = 11.7 Kg.m 2
将Steiner定理应用于绿色旋转轴：
I = I CM + MD 2 = 11.7 Kg.m 2 + 23 Kg x 0.652 m 2 = 21.4 Kg。
-解决运动2
求出一根均匀的细棒绕一根穿过一端的轴旋转时的惯性矩，见图。它大于或小于绕其中心旋转的惯性矩吗？为什么？
图4.所解决示例的方案2.来源：F. Zapata。
解
根据转动惯量表，质量为M且长度为L的细杆的转动惯量I CM为：I CM =（1/12）ML 2
斯坦纳定理指出，当绕经过一端D = L / 2的轴旋转时，它仍然存在：
由于杆的另一半（图中未显示阴影）旋转以描绘出较大的半径，因此该值更大，尽管不是简单的两倍，而是更大的4倍。
距离对旋转轴的影响不是线性的，而是二次的。质量是距离的两倍，质量将具有与（2D）2 = 4D 2成比例的惯性矩。
参考文献
- Bauer，W.2011。《工程与科学物理学》。第1卷。麦格劳·希尔（Mc Graw Hill）。313-340。
- 乔治亚州立大学。旋转运动。从以下网站恢复：phys.nthu.edu.tw。
- 平行轴定理。从以下网站恢复：hyperphysics.phy-astr.gsu.edu。
- Rex，A.，2011年。《物理学基础》。皮尔森 190-200。
- 维基百科。平行轴定理。从以下位置恢复：en.wikipedia.org