该非 - 共面的载体是那些不共享同一平面上。两个自由矢量和一个点定义一个平面。第三矢量可以共享或可以不共享该平面，如果不共享，则它们是非共面矢量。
非共面矢量无法在二维空间（如黑板或纸）中表示，因为其中一些包含在三维空间中。为了正确地表示它们，您必须使用透视图。
图1.共面和非共面向量。（自行阐述）
如果我们看图1，所有显示的对象都严格地在屏幕的平面内，但是由于有了透视，我们的大脑才能想象出一个平面（P）。
在那个平面（P）上是向量r，s，u，而向量v和w不在那个平面上。
因此，向量r，s，u彼此共面或共面，因为它们共享同一平面（P）。向量v和w与显示的任何其他向量都不共享平面，因此它们是非共面的。
共面向量和平面方程
如果三维空间中有三个点，则平面是唯一定义的。
假设这三个点是定义平面（P）的点A，点B和点C。利用这些点，可以构造两个向量AB = u和AC = v，它们通过与平面（P）共面构造。
这两个向量的叉积（或叉积）产生与它们垂直（或垂直）并因此垂直于平面（P）的第三个向量：
N =Ù X v => Ñ ⊥ ù和Ñ ⊥ v => Ñ ⊥（P）
属于平面（P）的任何其他点都必须满足向量AQ垂直于向量n的要求。这等效于说n与AQ的点积（或点积）必须为零：
n • AQ = 0（*）
先前的条件等于说：
AQ •（u X v）= 0
该方程式确保点Q属于平面（P）。
平面的笛卡尔方程
上面的等式可以用笛卡尔形式写。为此，我们编写点A，Q和法向向量n的分量的坐标：
因此，AQ的组成部分是：
向量AQ包含在平面（P）中的条件是条件（*），现在这样写：
计算点积仍然：
如果对其进行了开发和重新安排，它将保留：
先前的表达式是平面（P）的笛卡尔方程，它是垂直于（P）的向量分量和属于（P）的点A的坐标的函数。
三个向量非共面的条件
如上一节所述，条件AQ •（u X v）= 0保证了向量AQ与u和v共面。
如果我们将向量称为AQ w，则可以确认：
当且仅当w •（u X v）= 0时，w，u和v是共面的。
非共面条件
如果三个向量的三乘积（或混合乘积）不同于零，则这三个向量是非共面的。
如果w •（u X v）≠0，则向量u，v和w是非共面的。
如果引入向量u，v和w的笛卡尔分量，则非共面性的条件可以这样写：
三元积具有几何解释，并表示由三个非共面向量生成的平行六面体的体积。
图2.三个非共面矢量定义了一个平行六面体，其体积是三乘积的模数。（自行阐述）
原因如下。当将两个非共面向量矢量相乘时，将获得一个向量，其大小为它们生成的平行四边形的面积。
然后，当此向量被标量乘以第三非共面向量时，我们得到的是垂直于前两个确定的平面的向量的投影乘以他们确定的面积。
换句话说，我们将前两个生成的平行四边形的面积乘以第三个向量的高度。
非共面性的替代条件
如果您有三个向量，并且其中任何一个都不能写成另外两个向量的线性组合，则这三个向量是非共面的。也就是说，如果满足以下条件，则三个向量u，v和w是非共面的：
α ü +β v +γ 瓦特 = 0
仅当α= 0，β= 0和γ= 0时才满足。
解决的练习
-练习1
有三个向量
u =（-3，-6，2）; v =（4，1，0）和w =（-1，2，z）
注意，向量w的z分量是未知的。
找到z可以取的值的范围，以确保三个向量不共享同一平面。
解
w •（u X v）= -3（z-0）+ 6（4 z-0）+ 2（8 + 1）= -3z + 24z + 18 = 21z + 18
我们将此表达式设置为等于零
21 z + 18 = 0
我们求解z
z = -18 / 21 = -6/7
如果变量z取值-6/7，则三个向量将共面。
因此，保证向量非共面的z值是以下间隔中的值：
z∈（-∞，-6 / 7）U（-6/7，∞）
-练习2
找到下图所示的平行六面体的体积：
解
为了找到图中所示的平行六面体的体积，将确定坐标系原点处的三个并发非共面向量的笛卡尔分量。第一个是4m 的向量u，平行于X轴：
u =（4，0，0）m
第二个是尺寸为3m的XY平面中的矢量v，该矢量与X轴形成60º：
v =（3 * cos60º，3 * sin60º，0）=（1.5，2.6，0.0）m
第三个是5m 的向量w，它在XY平面上的投影与X轴成60º，另外w与Z轴成30º。
w =（5 * sin30º* cos60º，5 * sin30º* sin60º，5 * sin30º）
一旦计算完成，我们将得到：w =（1.25，2.17，2.5）m。
参考文献
- Figueroa，D。系列：科学与工程物理。第1卷。运动学。31-68。
- 物理。模块8：向量。从以下位置恢复：frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler，R.2006。《工程师力学》。静态的 第6版。大陆出版公司，第28-66页。
- McLean，W。Schaum系列。工程师力学：静力学和动力学。第三版。麦格劳·希尔。1-15。
- 维基百科。向量。从以下网站恢复：es.wikipedia.org