的并行矢量是矢量组的轴线重合于一点，每对内部和外部的另一个角度的之间形成粘连。在下图中可以看到一个清晰的示例，其中A，B和C是相互并存的向量。
D和E与其余的不同。并发向量AB，AC和CB之间形成角度。它们被称为向量之间的关系角。
特点
-它们有一个共同点，这与它们的原点相吻合：并发向量的所有大小都从一个共同点开始到其各自的末端。
-将原点视为向量的作用点：必须建立一个作用点，该作用点将直接受到每个并发向量的影响。
-其在平面和空间中的域分别为R 2和R 3：并发向量可自由覆盖整个几何空间。
-在同一组向量中允许使用不同的符号。根据研究的分支，向量运算中存在不同的符号。
向量的类型
向量的分支具有多个细分，其中一些可以命名为：平行，垂直，共面，对应，相对和单一。并发向量在此处列出，并且与上面提到的所有向量一样，它们在不同的科学中有许多应用。
它们在向量的研究中非常常见，因为它们代表了对向量进行运算的有用概括。在平面和空间中，并发矢量通常用于表示不同的元素并研究它们对特定系统的影响。
矢量符号
有几种表示向量元素的方法。最著名的是：
直角坐标
由相同的数学方法提出，它表示具有对应于每个轴（x，y，z）大小的三元组的向量
A：（1、1，-1）空间A：（1、1）平面
极性
它们仅用于表示平面中的矢量，尽管在积分计算中已将其分配为深度分量。它由线性大小r和相对于极轴an的角度组成。
A：（3，45 0）平面A：（2，45 0，3）空间
分析型
它们使用方波来定义矢量的大小。横坐标（i + j + k）代表与X，Y和X轴对应的单位向量
答：3i + 2j-3k
球形
它们与极性表示法相似，但是增加了第二个角度，以δ表示的xy平面扫过。
答：（4，60 or，π/ 4）
并发向量运算
并发向量主要用于定义向量之间的操作，因为在同时显示向量时比较它们的元素会更容易。
总和（A + B）
并发向量之和旨在找到结果向量V r。根据研究分支，这对应于最终动作
例如：3个字符串{A，B，C}绑在一个盒子上，字符串的每一端都由一个主体握住。3个受试者中的每个受试者都必须以与其他2个受试者不同的方向拉绳索。
A：（ax，ay，az）B：（bx，by，bz）C：（cx，cy，cz）
A + B + C =（ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz）= V r
盒子只能沿一个方向移动，因此V r将指示盒子移动的方向和方向。
差异（A-B）
关于向量之间的差异有很多标准，许多作者选择排除它，并声明仅规定向量之间的和，其中的差异大约是相反向量的总和。事实是向量可以代数相减。
A：（ax，ay，az）B：（bx，by，bz）
A-B = A +（-B）=（ax-bx; ay-by; az-bz）=
标量产品（A. B）
也称为点积，它会生成一个标量值，该标量值可能取决于研究分支而与各种幅度有关。
对于几何，通过平行四边形方法指示由一对并发向量形成的平行四边形的面积。对于机械物理学，它定义了将物体移动距离Δr时由力F完成的功。
ѡ= F。Δr
顾名思义，它生成一个标量值，并定义如下：
设向量A和B为
A：（ax，ay，az）B：（bx，by，bz）
-分析形式：
（A.B）= -A -.- B-.Cosθ
其中θ是两个向量之间的内角
-代数形式：
（A.B）=（ax.bx + ay.by + az.bz）
叉积（A x B）
两个矢量之间的矢量积或点积，限定第三矢量c ^具有垂直于所述质量乙和Ç。在物理学中，转矩矢量τ是旋转动力学的基础。
-分析形式：
-A x B-= -A -.- B-.Senθ
-代数形式：
（A x B） = =（ax.by-ay.Bx）-（ax.Bz-az.Bx）j +（ax.By-ay.Bx）k
-相对运动：r A / B
相对论的基础是相对运动，同时矢量是相对运动的基础。相对位置，速度和加速度可以通过应用以下思路来推导。
r A / B = r A -r B; A相对于B的相对位置
v A / B = v A -v B; A相对于B的相对速度
a A / B = a A -a B; A相对于B的相对加速度
示例：练习题
练习1
令A，B和C为并发向量。
A =（-1，3，5）B =（3，5，-2）C =（-4，-2，1）
-定义结果向量V r = 2A-3B + C
2A =（2（-1），2（3），2（5））=（-2、6、10）
-3B =（-3（3），-3（5），-3（-2））=（-9，-15、6）
V r = 2A +（-3B）+ C =（-2、6、10）+（-9，-15、6）+（-4，-2、1）
V r =（;;（10 + 6 +1））
V r =（-15，-11、17）
-定义点积（A.C）
（A.C）=（-1、3、5）。（-4，-2，1）=（-1）（-4）+ 3（-2）+ 5（1）= 4-6 + 5
（A.C）= 3
-计算A和C之间的角度
（A.C）= -A -.- C-。Cosθ其中，θ是矢量之间的最短角度
θ= 88.63 0
-查找垂直于A和B的向量
为此，有必要在（-1，3，5）和（3，5，-2）之间定义向量积。如前所述，构造了一个3 x 3的矩阵，其中第一行由三元向量（i，j，k）组成。然后，第二行和第三行由要操作的向量组成，同时遵守操作顺序。
（A x B） == i-j + k
（A x B） =（-5-9）I-（2-15）j +（-5-9）k
（A x B） =-14 I + 13 j-14 k
练习2
令V a和V b分别为A和B的速度矢量。计算从A看到的B的速度。
V a =（3，-1，5）V b =（2，5，-3）
在这种情况下，要求B相对于A V B / A的相对速度
V B / A = V B -V A
V B / A =（2，5，-3）-（3，-1，5）=（-1，6，-8）
这是从A看到的B的速度向量。其中描述了B速度的新向量，参考了位于A处并随A速度移动的观察者的参考。
建议的练习
1-构造3个向量A，B和C，它们是并发的，并且通过实际练习将它们之间的3个操作关联起来。
2-让向量A：（-2，4，-11），B：（1，-6，9）和C：（-2，-1，10）。查找与以下项垂直的向量：A和B，C和B，总和A + B +C。
4-在不考虑坐标轴的情况下，确定3个相互垂直的向量。
5-定义通过从20 m深的井底提起5 kg质量块的力完成的工作。
6-代数表示向量的减法等于对立向量的和。证明您的假设。
7-在本文开发的所有符号中表示一个向量。（笛卡尔，极坐标，解析和球形）。
8-施加在桌上的磁铁上的磁力由以下矢量给出；V：（5、3，-2），T：（4、7、9），H：（-3、5，-4）。如果所有磁力同时作用，则确定磁体将朝哪个方向移动。
参考文献
- 欧几里得几何和变换。克莱顿·道奇（Clayton W.Dodge）。快递公司，1月1日 2004年
- 如何解决应用数学问题L. Moiseiwitsch。快递公司，4月10日 2013年
- 几何学的基本概念。Walter Prenowitz，迈耶·乔丹（Meyer Jordan）。Rowman&Littlefield，10月4日。2012年
- 向量。RocíoNavarro Lacoba，6月7日。2014年
- 线性代数。Bernard Kolman，David R.Hill。培生教育，2006年