的法向矢量是一个限定垂直于所考虑的一些几何实体，其可以是由一条曲线，一个平面或表面，例如方向。
在空间中移动粒子或某个表面的定位中，这是一个非常有用的概念。在下图中，可以看到任意曲线C的法向矢量是什么样的：
图1.曲线C，向量的矢量垂直于点P。来源：Svjo
考虑曲线C上的点P，该点可以表示沿着C形路径移动的运动粒子，点P处的曲线的切线用红色绘制。
请注意，向量T在每个点处与C相切，而向量N垂直于T并指向其圆弧是C的假想圆的中心。向量在打印文本中以粗体表示，对于将它们与其他非矢量数量区分开。
向量T总是指示粒子在哪里运动，因此它指示粒子的速度。另一方面，向量N始终指向粒子旋转的方向，以此方式指示曲线C的凹度。
如何获得法线向量到飞机上？
法向矢量不一定是单位矢量，即模量为1的矢量，如果是，则称为法向单位矢量。
图2.左侧为平面P，两个向量垂直于所述平面。在右侧，确定空间的三个方向的单位矢量。资料来源：维基共享资源。见作者页面
在许多应用中，有必要知道垂直于平面而不是曲线的向量。该矢量揭示了所述平面在空间中的方向。例如，考虑图形的平面P（黄色）：
此平面有两个法向向量：n 1和n 2。一个或另一个的使用将取决于发现所述平面的上下文。如果已知平面的方程，则获取平面的法向矢量非常简单：
在这里，矢量N用单位矢量表示，并且彼此垂直，i，j和k沿确定xyz空间的三个方向定向，请参见右图2。
向量乘积的法向向量
查找法线向量的非常简单的过程利用了两个向量之间的向量乘积的属性。
众所周知，彼此不共线的三个不同点确定平面P。现在，可以获得具有属于这三个点的所述平面的两个矢量u和v。
一旦获得向量，向量乘积u x v是一个运算，其结果又是一个向量，该向量具有垂直于u和v确定的平面的属性。
已知此向量，将其表示为N，由于上一节中指示的方程，因此可以确定平面的方程：
N = u x v
下图说明了所描述的过程：
图3.使用两个向量及其向量乘积或叉形，确定包含两个向量的平面方程。资料来源：维基共享资源。没有提供机器可读的作者。M.Romero Schmidtke假定（基于版权主张）。
例
找出由点A（2,1,3）确定的平面方程; B（0,1,1）; C（4.2.1）。
解
本练习说明了上述过程。通过具有3个点，可以选择其中之一作为属于这些点所定义的平面的两个向量的公共原点。例如，将点A设置为原点，并构造矢量AB和AC。
向量AB是向量的原点，其起点是A点，终点是B点。向量AB的坐标是通过分别从A的坐标减去B的坐标来确定的：
我们以相同的方式找到向量AC：
向量积的计算
有几种方法可以找到两个向量之间的叉积。本示例使用助记符过程，该过程使用下图查找单位向量i，j和k之间的向量乘积：
图4.确定单位向量之间的向量乘积的图。资料来源：自制。
首先，请记住并行向量之间的向量乘积为空，因此：
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
并且由于向量乘积是垂直于参与向量的另一个向量，因此沿红色箭头方向移动：
如果必须沿与箭头相反的方向移动，请添加一个符号（-）：
总共可以制作9个向量乘积，其中单位向量i，j和k为零。
AB x AC =（-2 i + 0 j -2 k）x（2 i + j -2 k）= -4（i x i）-2（i x j）+4（i x k）+0（j x i）+ 0（j x j）-0（j x k）-4（k x i）-2（k x j）+ 4（k x k）= -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
平面方程
向量N已由先前计算的向量乘积确定：
N = 2 我 -8 j -2 k
因此，a = 2，b = -8，c = -2，求得的平面是：
d的值有待确定。如果可用任意点A，B或C的值替换平面的方程式，则这很容易。例如，选择C：
x = 4; y = 2；z = 1
遗迹：
简而言之，寻求的地图是：
好奇的读者可能想知道，如果不是选择AB x AC而是选择AC x AB，是否会获得相同的结果。答案是肯定的，由这三个点确定的平面是唯一的，并且具有两个法向矢量，如图2所示。
至于选择作为矢量原点的点，选择其他两个都没有问题。
参考文献
- Figueroa，D.（2005年）。系列：科学与工程物理。第1卷。运动学。由Douglas Figueroa（USB）编辑。31- 62。
- 查找平面的法线。从以下站点恢复：web.ma.utexas.edu。
- Larson，R。（1986）。微积分和分析几何。Mc Graw Hill。616-647。
- R 3中的线和平面。取自：math.harvard.edu。
- 法线向量。从mathworld.wolfram.com中恢复。