指向矢矢量应理解为定义直线在平面或空间中的方向的矢量。因此，可以将平行于该线的矢量视为其方向矢量。
这是有可能的，这要归功于欧几里得几何学的一个公理，说两个点定义了一条线。然后，由这两点形成的定向段也定义了所述线的指向矢。
图1.一条线的导向向量。（自行阐述）
给定属于线（L）的点P并给定该线的指向矢矢量u，就可以完全确定该线。
直线和指向矢矢量的方程
图2.直线和指向矢矢量的方程式。（自行阐述）
给定坐标P：（Xo，I）的点P和直线（L）的向量u指向矢，坐标Q：（X，Y）的每个点Q必须满足向量PQ与u平行。如果PQ与u成正比，则可以保证这最后一个条件：
PQ =t⋅ ü
在上面的表达式中，t是属于实数的参数。
如果写了PQ和u的笛卡尔分量，则上式写成如下：
（X-Xo，Y-Yo）=t⋅（a，b）
如果向量相等的分量相等，则获得以下方程对：
X-Xo =a⋅tyY-I =b⋅t
线的参数方程
通过将实值分配给变量参数t来确定属于线（L）的点的X和Y坐标，该点穿过坐标点（Xo，Yo）并平行于指向矢矢量u =（a，b）：
{X = Xo +a⋅t; Y = I +b⋅t}
例子1
为了说明线的参数方程的含义，我们将其作为方向矢量
u =（a，b）=（2，-1）
作为线的已知点
P =（Xo，I）=（1，5）。
该线的参数方程为：
{X = 1 +2⋅t; Y = 5-1⋅t; -∞
为了说明该方程式的含义，请参见图3，其中参数t改变了其值，坐标点（X，Y）的点Q在直线上的位置不同。
图3. PQ = t u。（自行阐述）
矢量形式的线
给定直线上的点P及其指向矢u，直线的方程式可以写成矢量形式：
OQ = OP +λ⋅ ü
在上式中，Q是除线外的任何点，而λ是实数。
该线的矢量方程式适用于任何尺寸，甚至可以定义一条超线。
在指向矢矢量u =（a，b，c）和点P =（Xo，Yo，Zo）的三维情况下，属于该线的通用点Q =（X，Y，Z）的坐标为：
（X，Y，Z）=（Xo，Yo，Zo）+λ⋅（a，b，c）
例子2
再次考虑具有作为引导向量的线
u =（a，b）=（2，-1）
作为线的已知点
P =（Xo，I）=（1，5）。
所述线的向量方程为：
（X，Y）=（1，5）+λ⋅（2，-1）
线和指向矢矢量的连续形式
从参数形式开始，清除并等于参数λ，我们有：
（X-Xo）/ a =（Y-Yo）/ b =（Z-Zo）/ c
这是直线方程的对称形式。请注意，a，b和c是指向矢矢量的分量。
例子3
考虑具有作为引导向量的线
u =（a，b）=（2，-1）
作为线的已知点
P =（Xo，I）=（1，5）。找到它的对称形状。
该线的对称或连续形式为：
（X-1）/ 2 =（Y-5）/（-1）
直线方程的一般形式
XY平面中直线的一般形式称为方程，其结构如下：
A⋅X+B⋅Y= C
对称形式的表达式可以重写为通用形式：
b⋅X-a⋅Y=b⋅Xo-a⋅Yo
与线条的一般形状相比，它是：
A = b，B = -a和C =b⋅Xo-a⋅Yo
例子3
求导向量为u =（2，-1）的线的一般形式
并通过点P =（1，5）。
要找到一般形式，我们可以使用给定的公式，但是将选择替代路径。
我们首先找到导向向量u的对偶向量w，该向量定义为通过交换u的分量并将第二个乘以-1所获得的向量：
w =（-1，-2）
对偶向量w对应于指向矢向量v的顺时针旋转90° 。
我们将w与（X，Y）和（Xo，Yo）标量相乘并设置为相等：
（-1，-2）•（X，Y）=（-1，-2）•（1，5）
-X-2Y = -1-2⋅5= -11
最后剩下：
X + 2Y = 11
直线方程的标准形式
它被称为XY平面中线的标准形式，其具有以下结构：
Y =m⋅X+ d
其中m代表斜率，d代表Y轴截距。
给定方向向量u =（a，b），斜率m为b / a。
通过用X和Y替换已知点Xo，I来获得Y d：
I =（b / a）Xo + d。
简而言之，m = b / a和d = I-（b / a）Xo
注意，斜率m是指向矢矢量的y分量与其x分量之间的商。
例子4
求导向量为u =（2，-1）的线的标准形式
并通过点P =（1，5）。
m =-½和d = 5-（-½）1 = 11/2
Y =（-1/2）X + 11/2
解决的练习
-练习1
找出线（L）的指向矢矢量，该线是平面（Π）的交点：X-Y + Z = 3和平面（Ω）：2X + Y = 1。
然后写直线（L）方程的连续形式。
解
从平面（Ω）间隙的等式Y：Y = 1 -2X
然后，我们用平面方程（Π）代替：
X-（1-2X）+ Z = 3⇒3X + Z = 4⇒Z = 4-3X
然后我们对X进行参数化，选择参数化X =λ
这意味着该行具有一个矢量方程式，该方程式如下：
（X，Y，Z）=（λ，1-2λ，4-3λ）
可以重写为：
（X，Y，Z）=（0，1，4）+λ（1，-2，-3）
显然，向量u =（1，-2，-3）是线（L）的指向矢向量。
线（L）的连续形式为：
（X-0）/ 1 =（Y-1）/（-2）=（Z-4）/（-3）
-练习2
给定平面5X + a Y + 4Z = 5
方程为X / 1 =（Y-2）/ 3 =（Z -2）/（-2）的线
确定a的值，以使平面和直线平行。
解决方案2
向量n =（5，a，4）是垂直于平面的向量。
向量u =（1，3，-2）是直线的定向向量。
如果线与平面平行，则n•v = 0。
（5，a，4）•（1，3，-2）= 5 +3 a -8 = 0⇒a = 1。
参考文献
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- Kolman，B.（2006年）。线性代数。培生教育。
- Leal，JM和Viloria，NG（2005）。平面分析几何。梅里达-委内瑞拉：社论委内瑞拉
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